PRODUCTOS CARTESIANOS DE CONJUNTOS , RELACIONES MATEMÁTICAS

PRIMER TEMA

JAVIER GONZALEZ JIMENEZ 

➤ PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS 

⧫ DEFINICIÓN: "En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

 RELACIONES Y FUNCIONES.

⤕ Una pareja ordenada es una conjunto de números ( X,Y) escritos de orden particular ya que si las variables son escritas de forma inversa ejemplo ( y,x) ó ( x, y), estas parejas son utilizadas para  representar un punto en un plano cartesiano.
 

DEBES RECORDAR QUE EL ESTUDIANTE YA SABE SOBRE EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES (R)

SU DEFINICIÓN FORMAL ES 
AXB=[(X,Y) I  X [,A,  Y[B]

Los elementos A x B se colocan  entre paréntesis,  separados por coma


Si A tiene x elementos y  B tiene y elementos entonces AxB tiene x*y elementos, 
cuando se presenta  dos puntos de esta forma como = ( x,y)  # (y,x)  el producto cartesiano no es comnutativo  es decir  AxB  # BxA.

Una relación  es un subconjunto de productos cartesianos  

Ejemplo
SI A ( 1,2) Y B ( 3,4,5) OBTENER AXB Y BXA
 SOLUCIÓN
AXB= (1,3) , (1,4), (1,5) Y (2,3), (2,4), (2,5)
BXA= (3,1),(3,2), (4,1),(4,2) , (5,1),(5,2)
NUMERO DE ELEMENTOS 2X3 = 6

CONCLUSIÓN

 El producto cartesiano es el conjunto de pares ordenados , donde x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B.

Dados los conjuntos ,  obtener y graficar su producto.

BIBLIOGRAFÍA
Ralph, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.


https://www.youtube.com/watch?v=_TgIL-KtCeE


RELACIONES MATEMÁTICAS
⬌ Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de condominio o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

Supongamos que el dominio se llama L y el rango, P. Una relación matemática de L en P será un subconjunto del producto cartesiano L x P. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de L con elementos de P.

Si L = {5, 7} y P = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de L x P serán los siguientes pares ordenados:

L x P = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}

Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}

Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}

https://www.youtube.com/watch?v=2pn93FNHniQ

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.

FUNCIONES MATEMÁTICAS 

⥇En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

x -------->   x 2 .

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x 2 o f(x) = x 2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a 2 , etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio ) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente . Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y) . Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y . A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y .

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función ( f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f , definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

f : A -----> B  (o, usando X por A e Y por B    f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f , mientras que x es la preimagen de f(x) .

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función."

https://www.youtube.com/watch?v=PPuWf2cDEKc

BIBLIOGRAFIA 

Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. p. 17.